Нечеткие выводы

Понятие нечеткого выводазанимает важнейшее место в нечеткой логике Алгоритм Mamdani, Алгоритм Tsukamoto, Алгоритм Sugeno, Алгоритм Larsen, Упрощенный алгоритм нечеткого вывода, Методы приведения к четкости.

Используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида:

П1: если хесть A1, тогда уесть B1,

П2: если хесть А2, тогда уесть В2,

·················································

Пn: если хесть Аn,тогда уесть Вn, где х— входная переменная (имя для известных значений дан­ных), у — переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено); А и В — функции принадлежности, определен­ные соответственно на xи у.

Пример подобного правила

Если х — низко, то у — высоко.

Приведем более детальное пояснение. Знание эксперта А → В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключе­ния, поэтому его можно назвать нечетким отношением и обозна­чить через R:

А → В,

где «→» называют нечеткой импликацией.

Отношение Rможно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения Х×У полного множества предпосылок X и заключений Y.Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В' с использованием данного наблюдения А' и знания А → В можно представить в виде формулы

В' = А' ᵒ R= А' ᵒ (А → В),

где «о» — введенная выше операция свертки.

Как операцию композиции, так и операцию импликации в ал­гебре нечетких множеств можно реализовывать по-разному (при этом, естественно, будет разниться и итоговый получаемый ре­зультат), но в любом случае общий логический вывод осуществля­ется за следующие четыре этапа.

1.          Нечеткость (введение нечеткости, фазификация, fuzzifica­tion). Функции принадлежности, определенные на входных пере­менных применяются к их фактическим значениям для определе­ния степени истинности каждой предпосылки каждого правила.

2.          Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каж­дого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно исполь­зуются только операции min(МИНИМУМ) или prod(УМНОЖЕ­НИЕ). В логическом выводе МИНИМУМА функция принадлежно­сти вывода «отсекается» по высоте, соответствующей вычислен­ной степени истинности предпосылки правила (нечеткая логика «И»). В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ функция принадлеж­ности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила.

3.        Композиция. Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вме­сте, чтобы формировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно использу­ются операции max(МАКСИМУМ) или sum(СУММА). При ком­позиции МАКСИМУМА комбинированный вывод нечеткого под­множества конструируется как поточечный максимум по всем не­четким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ»). При композиции СУММЫ комбинированный вывод нечеткого подмножества кон­струируется как поточечная сумма по всем нечетким подмноже­ствам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода.

4.          В заключение (дополнительно) — приведение к четкости (дефазификация, defuzzification), которое используется, когда по­лезно преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число. Име­ется большое количество методов приведения к четкости, некото­рые из которых рассмотрены ниже.

Пример.Пусть некоторая система описывается следующими нечет­кими правилами:

П1: если хесть А, тогда ω есть D,

П2: если уесть В, тогда ω есть Е,

П3: если zесть С, тогда ω есть F, где х, у и z— имена входных переменных, ω — имя переменной вывода, а А, В, С, D, Е, F— заданные функции принадлежности (треугольной формы).

Процедура получения логического вывода иллюстрируется рис. 1.9.

Предполагается, что входные переменные приняли некоторые кон­кретные (четкие) значения — хо, yо и zо.

В соответствии с приведенными этапами, на этапе 1 для данных зна­чений и исходя из функций принадлежности А, В, С, находятся степени истинности α(хо), α(уоα(zo)для предпосылок каждого из трех при­веденных правил (см. рис. 1.9).

На этапе 2 происходит «отсекание» функций принадлежности за­ключений правил (т.е. D, Е, F) на уровнях α(хо), α(уо) и α(zo).

На этапе 3 рассматриваются усеченные на втором этапе функции при­надлежности и производится их объединение с использованием операции max, в результате чего получается комбинированное нечеткое подмноже­ство, описываемое функцией принадлежности μ(ω) и соответствующее логическому выводу для выходной переменной ω.

Наконец, на 4-м этапе — при необходимости — находится четкое значение выходной переменной, например, с применением центроидного метода: четкое значение выходной переменной определяется как центр тяжести для кривой μ(ω), т.е.

Нечеткие выводы

Рассмотрим следующие наиболее часто используемые модифи­кации алгоритма нечеткого вывода, полагая, для простоты, что базу знаний организуют два нечетких правила вида:

П1: если х есть Aи у есть B1, тогда zесть C1,

П2: если х есть А2 и у есть В2, тогда zесть С2, где x и у — имена входных переменных, — имя переменной вы­вода, A1, А2, B1, В2, C1, С2 — некоторые заданные функции при­надлежности, при этом четкое значение zнеобходимо определить на основе приведенной информации и четких значений xи у0.

Нечеткие выводы

Рис. 1.9. Иллюстрация к процедуре логического вывода

 

Алгоритм Mamdani

Данный алгоритм соответствует рассмотренному примеру и рис. 1.9. В рассматриваемой ситуации он математически может быть описан следующим образом.

1.          Нечеткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: А1(x0), А2(x0), B1(y0), В2(y0).

2.          Нечеткий вывод: находятся уровни «отсечения» для пред­посылок каждого из правил (с использованием операции МИНИМУМ)

α1= A1(x0) ˄ B1(y0)

α2 = A2(x0) ˄ B2(y0)

где через «˄» обозначена операция логического минимума (min), затем находятся «усеченные» функции принадлежности

Нечеткие выводы

3.          Композиция: с использование операции МАКСИМУМ (max, далее обозначаемой как «˅») производится объединение найден­ных усеченных функций, что приводит к получению итогового не­четкого подмножества для переменной выхода с функцией принад­лежности

Нечеткие выводы

4.          Наконец, приведение к четкости (для нахождения z0прово­дится, например, центроидным методом.

 

Алгоритм Tsukamoto

 Исходные посылки — как у пре­дыдущего алгоритма, но в данном случае предполагается, что функ­ции C1(z), С2(z) являются монотонными.

1.          Первый этап — такой же, как в алгоритме Mamdani.

2.          На втором этапе сначала находятся (как в алгоритме Mam­dani) уровни «отсечения» α1 и α2, а затем — посредством решения уравнений

α1 = C1(z1), α2 = C2(z2)

— четкие значения (zи z2 )для каждого из исходных правил.

3.          Определяется четкое значение переменной вывода (как взве­шенное среднее zи z2):

Нечеткие выводы

в общем случае (дискретный вариант центроидного метода)

Нечеткие выводы

Пример. Пусть имеем A1(x0) = 0,7, A2(x0) = 0,6, B1(y0) = 0,3, В2(y0) = 0,8, соответствующие уровни отсечения

a1 =min (A1(x0), B1(y0)) = min(0,7; 0,3) = 0,3,

a2 =min (А2(x0), В2(y0)) = min (0,6; 0,8) = 0,6

и значения z= 8 и z= 4, найденные в результате решения уравнений

C1(z1) = 0,3 , C2(z2) = 0,6.

Рис. 1.10. Иллюстрации к алгоритму Tsukamoto

 

При этом четкое значение переменной вывода (см. рис. 1.10)

z0 = (8·0,3 + 4·0,6) / (0,3 + 0,6) = 6.

Алгоритм Sugeno

Sugeno и Takagi использовали набор правил в следующей форме (как и раньше, приводим пример двух правил):

П1: если х есть Aи у есть B1, тогда z1= а1х + b1у,

П2: если х есть A2 и у есть В2, тогда z2= a2x+ b2y.

Представление алгоритма

1.          Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2.          На втором этапе находятся α1= A1(x0) ˄ B1(y0), α2 = А2(x0) ˄ В2(у0) и индивидуальные выходы правил:

Нечеткие выводы

З.      На третьем этапе определяется четкое значение переменной вывода:

Нечеткие выводы

Иллюстрирует алгоритм рис. 1.11.

Нечеткие выводы

Рис. 1.11. Иллюстрация к алгоритму Sugeno

 

Алгоритм Larsen

В алгоритме Larsen нечеткая импли­кация моделируется с использованием оператора умножения.

Описание алгоритма

1.          Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2.          На втором этапе, как в алгоритме Mamdani вначале нахо­дятся значения

α1= A1(x0) ˄ B1(y0),

α2 = А2(x0) ˄ В2(y0),

а затем — частные нечеткие подмножества

α1C1(z), a2C2(z).

3.          Находится итоговое нечеткое подмножество с функцией при­надлежности

μs(z)= С(z)= (a1C1(z)) ˅ (a2C2(z))

(в общем случае n правил ).

4.          При необходимости производится приведение к четкости (как в ранее рассмотренных алгоритмах).

Алгоритм Larsen иллюстрируется рис. 1.12.

Нечеткие выводы

Рис. 1.12. Иллюстрация алгоритма Larsen

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода

Исходные пра­вила в данном случае задаются в виде:

П1: если х есть Aи у есть B1, тогда z= c1,

П2: если х есть А2 и у есть В2, тогда z= с2, где cи с2 — некоторые обычные (четкие) числа.

Описание алгоритма

1.          Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2.          На втором этапе находятся числа α1 = A1(x0) ˄ B1(y0), α2= A2(x0) ˄ B2(y0).

3.          На третьем этапе находится четкое значение выходной пе­ременной по формуле

Нечеткие выводы

или — в общем случае наличия n правил — по формуле

Иллюстрация алгоритма приведена на рис. 1.13.

Нечеткие выводы

Рис. 1.13. Иллюстрация упрощенного алгоритма нечеткого вывода

Методы приведения к четкости

1.           Выше уже был рассмотрен один из данных методов — троидный. Приведем соответствующие формулы еще раз.

Для непрерывного варианта:

Нечеткие выводы

для дискретного варианта:

2.          Первый максимум (First-of-Maxima). Четкая величина пере­менной вывода находится как наименьшее значение, при котором достигается максимум итогового нечеткого множества, т.е. (см. рис. 1.14а)

Рис. 1.14. Иллюстрация к методам приведения к четкости: α — первый максимум; б — средний максимум

Нечеткие выводы

3.          Средний максимум (Middle-of-Maxima). Четкое значение находится по формуле

где G — подмножество элементов, максимизирующих С (см. рис. 1.14 б).

Дискретный вариант (если С — дискретно):

4.          Критерий максимума (Max-Criterion). Четкое значение вы­бирается произвольно среди множества элементов, доставляющих максимум С, т. е.

5.          Высотная дефазификация (Heightdefuzzification). Элементы области определения Ω для которых значения функции принад­лежности меньше, чем некоторый уровень α в расчет не принима­ются, и четкое значение рассчитывается по формуле

где Сα — нечеткое множество α-уровня (см. выше).

 

Нисходящие нечеткие выводы

Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключению. В последние годы в диагностических нечетких системах начинают применяться нисходящие выводы. Рассмотрим механизм подобного вывода на примере.

Возьмем упрощенную модель диагностики неисправности ав­томобиля с именами переменных:

х1— неисправность аккумулятора;

x2— отработка машинного масла;

y1— затруднения при запуске;

y2— ухудшение цвета выхлопных газов;

y3— недостаток мощности.

Между xiи yjсуществуют нечеткие причинные отношения rij = xiyj,которые можно представить в виде некоторой ма­трицы с элементами rij ϵ [0, 1]. Конкретные входы (предпо­сылки) и выходы (заключения) можно рассматривать как нечет­кие множества А и В на пространствах X и Y.Отношения этих множеств можно обозначить как

В = АR,

где, как и раньше, знак «о» обозначает правило композиции не­четких выводов.

В данном случае направление выводов является обратным к направлению выводов для правил, т.е. в случае диагностики име­ется (задана) матрица (знания эксперта), наблюдаются выходы В (или симптомы) и определяются входы А (или факторы).

Пусть знания эксперта-автомеханика имеют вид

а в результате осмотра автомобиля его состояние можно оценить как

В= 0,9/y1+ 0,1/у2 + 0,2/у3.

Требуется определить причину такого состояния:

А = a1/x1+ a2/x2.

Отношение введенных нечетких множеств можно представить в виде

либо, транспонируя, в виде нечетких векторов-столбцов:

При использовании (max-mix)-композиции последнее соотно­шение преобразуется к виду

0,9 = (0,9 ˄ α1) ˅ (0,6 ˄ α2),

0,1 = (0,1 ˄ α1) ˅ (0,5 ˄ α2),

0,2 = (0,2 ˄ α1) ˅ (0,5 ˄ α2).

При решении данной системы заметим прежде всего, что в первом уравнении второй член правой части не влияет на правую часть, поэтому

0,9 = 0,9 ˄ α1, α1 ≥ 0,9.

Из второго уравнения получим:

0,1 ≥ 0,5 ˄ α2, α2 ≤ 0,1.

Полученное решение удовлетворяет третьему уравнению, та­ким образом имеем:

0,9 ≤ α1≤ 1,0,     0 ≤ α2 ≤ 0,1,

т.е. лучше заменить аккумулятор (α— параметр неисправности аккумулятора, α— параметр отработки машинного масла).

На практике в задачах, подобных рассмотренной, количество переменных может быть существенным, могут одновременно ис­пользоваться различные композиции нечетких выводов, сама схема выводов может быть многокаскадной. Общих методов решения по­добных задач в настоящее время, по-видимому, не существует.


нечеткая логика нечеткие множества
Гость, оставишь комментарий?
Имя:*
E-Mail:


Свежее новое
  • Есть ли что-нибудь за пределами нашей Вселенной
  • Есть гипотеза, будто бы существующий космос в действительности представляет собой лишь одну Вселенную в большой Мультивселенной.
  • Мощнейшие космические магниты Вселенной
  • Астрономы ищут магнетары с 1979 года — именно тогда им удалось зафиксировать вспышку гамма-лучей, вызвавшую сбои в работе космической техники, а
  • «Биосфера-2»: неудачный опыт 8 добровольцев в искусственной экологической системе
  • На стене с внутренней стороны «Биосферы-2» сохраняются доныне строчки, которые написала женщина-доброволец: «Лишь тут нам пришлось почувствовать,
  • 5 необъяснимых для науки загадок
  • Наука позволяет объяснить многие интересные вещи, но даже сейчас существует огромное количество явлений, которым пока не нашли научного объяснения.
  • Как игра в «Тетрис» улучшает работу мозга
  • Согласно недавно проведенному исследованию американских ученых, игра позволяет повысить эффективность мозговой деятельности, улучшить
Последние комментарии
5 лучших приложений искусственного интеллекта для вашего телефона Android
ха....не отвечают.....а программа выдает заложенный в исходном коде в ответ на запрос. то же самое умеет калькулятор, только там нужно нажимать равно
5 лучших приложений искусственного интеллекта для вашего телефона Android
Я считаю,что искусственный интеллект ,когда нибудь будет,а пока это программы которые выполняют определенный алгоритм команд,интеллект-это
Нейронные сети Кохонена
Спасибо огромное за доступность представленного материала. Особенно ценным есть простой пример, на котором описана работа модели. Читала на многих
Демонстрация онлайн обучения нейронной сети
сказки переобучения НС и потери сигнала на таких нервонных сетях чудненькие распознованеи ближе к зеро :)
Что ждёт человечество с учётом дальнейшего развития «искусственного» интеллекта?
Совсем недавно завершилась серия логических игр Go 3 года канулив лету а ИИшак все играет в го а люди как обычно пашут до самой молодости :)
Мы в социальных сетях
Статистика
5  
Всего статей 1599
2  
Всего комментариев 102
0  
Пользователей 75