Нечеткие отношения

Операции над нечеткими отношениями, произведение двух отношений, пересечение двух отношений, сумма двух отношений...

Пусть Е = Е1 × Е2 × ... × Еп — прямое произведение универ­сальных множеств и М — некоторое множество принадлежностей (например, М = [0, 1]). Нечеткое n-ное отношение определя­ется как нечеткое подмножество на Е, принимающее свои значения в М. В случае n= 2 и М = [0, 1] нечетким отношением между множествами X = Еи = Е2 будет называться функ­ция R:(X, Y) → [0, 1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (x, у) ϵ X × величину μR(x, у) ϵ [0, 1].

Обозначение: нечеткое отношение на X × запишется в виде

х ϵ X, у ϵ Y: xRy.

В случае, когда X = У, т.е. X и совпадают, нечеткое отно­шение R:X× X → [0, 1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры

1)          Пусть X = {х12, х3}, Y{y1, у2, у3, y4}, М = [0, 1]. Нечет­кое отношение R= XRY может быть задано, к примеру, табл. 1.3.

Таблица 1.3. Задание нечеткого отношения

Нечеткие отношения

2)          Пусть X = Y=(-∞, ∞), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение х >> у (х много больше у) можно задать функцией принадлежности:

Нечеткие отношения

3)          Отношение Rдля которого μR(х, у)= е-k·(x-y)·(x-y), при достаточно больших k можно интерпретировать так: «х и у близкие друг к другу числа».

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений Rи R2. Объединение двух отношений обозначается R∪ Rи определяется выражением

Нечеткие отношения

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений Rи Rобозначается R⋂ R2 и определяется выражением

Нечеткие отношения

Алгебраическое произведение двух отношений. Алгебраиче­ское произведение двух отношений Rи Rобозначается R1· Rи определяется выражением

Нечеткие отношения

Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений Rи Rобозначается Нечеткие отношения и определяется выражением

Нечеткие отношения

Для введенных операций справедливы следующие свойства дис­трибутивности:

Нечеткие отношения

Дополнение отношения. Дополнение отношения обозначается ̅и определяется функцией принадлежности:

Нечеткие отношения

Дизъюнктивная сумма двух отношений. Дизъюнктивная сумма двух отношений Rи Rобозначается R1⊕ Rи определя­ется выражением

Нечеткие отношения

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть — нечеткое отношение с функцией принадлежности μR(x, у).Обыч­ное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и опреде­ляется выражением

Нечеткие отношения

По договоренности принимают μR(x, у)= 0 при μR(x, у)= 0,5. Композиция (свертка) двух нечетких отношений. Пусть R— нечеткое отношение R1:(X × У) → [0, 1] между X и Y, и R— нечеткое отношение R— (Y× Z→ [0, 1] между и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое RR1опреде­ленное через Rи Rвыражением

называется (max-min)-композицией ((max-min)-сверткой) отно­шений Rи R2

Пример. Пусть

Нечеткие отношения

Тогда

Нечеткие отношения

При этом

Нечеткие отношения

Замечание. В данном примере вначале использован «анали­тический» способ композиции отношений Rи R2, т.е. iстрока R«умножается» на j-й столбец Rс использованием операции ˄, полученный результат «свертывается» с использованием операции ˅ в μ(xi, zj).

Нечеткие отношения

Свойства(max-min)-композиции. Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

Rᵒ (RR1)= (RR2) ᵒ R1,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна от­носительно пересечения:

Rᵒ (R∪ R1) = (R3 ᵒ R2) ∪ (R3 ᵒ R1),

Rᵒ (R⋂ R1) (RR2) ⋂ (RR1).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следую­щее важное свойство: если R1⊂ R2 ,то ᵒ R1⊂ R2.

max-композиция.В выражении

Нечеткие отношения

для (max-min)-композиции отношений Rи R2 операцию ˄ можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограни­чения, что и для ˄: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда

Нечеткие отношения

В частности, операция ˄ может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max-prod)-композиции.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить