Нечеткое множество- ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ­сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

А = { μA(x) / },

где μА(х) —характеристическая функция, принимающая значе­ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль­ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

А = { μA(x) / x},

где μА(х)характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = [0, 1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы­вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть Е = {x1, x2, хз, x4,x5}, М = [0, 1]; А — нечеткое множество, для которого μA(x1)=0,3; μA(х2)= 0; μA(х3) = 1; μA(x4) = 0,5; μA(х5)=0,9.

Тогда А можно представить в виде

А ={0,3/x1; 0/х2; 1/х3; 0,5/х4; 0,9/х5},

или

А={0,3/x1 +0/х2+1/х3+0,5/х4+0,9/х5},

или

Замечание. Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

 

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = [0, 1] и А — нечеткое множество с элементами из универсаль­ного множества Е и множеством принадлежностей М.

•          Величина  называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав­на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 ( = 1). При  < 1нечеткое множество называется субнормальным.

•          Нечеткое множество пусто, если ∀ϵ E μA(x) = 0. Непу­стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

•          Нечеткое множество унимодально, если μA(x) = 1 только на одном х из Е.

•          Носителемнечеткого множества А является обычное под­множество со свойством μA(x)>0, т.е. носитель А = {x/x ϵ E, μA(x)>0}.

•          Элементы x ϵ Eдля которых μA(x) = 0,5, называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = [0, 1]. Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода — {3, 8}.

2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n,}. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

3. Пусть Е = {1, 2, 3, . . ., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е' = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции при­надлежности μМолодой (x) на Е = {1, 2, 3, . . ., 100} (возраст), называемой по отношению к Е' функцией совместимости, при этом:

где х — возраст СИДОРОВА.

4.  Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… } – множе­ство марок автомобилей, а Е' = [0, ∞] — универсальное множество «Сто­имость», тогда на Е' мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

 

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при­надлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни­версальном множестве Е = { ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...}, выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

 

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5.  Пусть Е — множество целых чисел:

Е= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

 

О методах построения функций принадлежности нечет­ких множеств

В приведенных выше примерах использованы пря­мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μА(х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис­пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде­лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

 

 

0

1

x1

высота лба

низкий

высокий

x2

профиль носа

курносый

горбатый

x3

длина носа

короткий

длинный

x4

разрез глаз

узкие

широкие

x5

цвет глаз

светлые

темные

x6

форма подбородка

 остроконечный

квадратный

x7

толщина губ

тонкие

толстые

x8

цвет лица

темный

светлый

x9

очертание лица

овальное

квадратное

 

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка­лы, задает μA(х) ϵ [0, 1], формируя векторную функцию принад­лежности { μA(х1), μA(х2),…, μA9) }.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет­ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че­ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μлысый (данного лица). (В этом примере можно действо­вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенныеметоды определения значений функции принад­лежности используются в случаях, когда нет элементарных из­меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне­ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из­вестны, например, μA(х­i) = ωi, i= 1, 2, ..., n,то попарные срав­нения можно представить матрицей отношений А = { aij}, где aij= ωi/ω(операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом пред­полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен­тов симметричных относительно диагонали aij= 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по­следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw= λmaxw, где λmax— наибольшее собствен­ное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло­жительным.

Можно отметить еще два подхода:

  • использование типовых формкривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа – см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
  • использование относительных частотпо данным экспе­римента в качестве значений принадлежности.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить