Нечеткие выводы

Понятие нечеткого выводазанимает важнейшее место в нечеткой логике Алгоритм Mamdani, Алгоритм Tsukamoto, Алгоритм Sugeno, Алгоритм Larsen, Упрощенный алгоритм нечеткого вывода, Методы приведения к четкости.

Используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида:

П1: если хесть A1, тогда уесть B1,

П2: если хесть А2, тогда уесть В2,

·················································

Пn: если хесть Аn,тогда уесть Вn, где х— входная переменная (имя для известных значений дан­ных), у — переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено); А и В — функции принадлежности, определен­ные соответственно на xи у.

Пример подобного правила

Если х — низко, то у — высоко.

Приведем более детальное пояснение. Знание эксперта А → В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключе­ния, поэтому его можно назвать нечетким отношением и обозна­чить через R:

А → В,

где «→» называют нечеткой импликацией.

Отношение Rможно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения Х×У полного множества предпосылок X и заключений Y.Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В' с использованием данного наблюдения А' и знания А → В можно представить в виде формулы

В' = А' ᵒ R= А' ᵒ (А → В),

где «о» — введенная выше операция свертки.

Как операцию композиции, так и операцию импликации в ал­гебре нечетких множеств можно реализовывать по-разному (при этом, естественно, будет разниться и итоговый получаемый ре­зультат), но в любом случае общий логический вывод осуществля­ется за следующие четыре этапа.

1.          Нечеткость (введение нечеткости, фазификация, fuzzifica­tion). Функции принадлежности, определенные на входных пере­менных применяются к их фактическим значениям для определе­ния степени истинности каждой предпосылки каждого правила.

2.          Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каж­дого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно исполь­зуются только операции min(МИНИМУМ) или prod(УМНОЖЕ­НИЕ). В логическом выводе МИНИМУМА функция принадлежно­сти вывода «отсекается» по высоте, соответствующей вычислен­ной степени истинности предпосылки правила (нечеткая логика «И»). В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ функция принадлеж­ности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила.

3.        Композиция. Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вме­сте, чтобы формировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно использу­ются операции max(МАКСИМУМ) или sum(СУММА). При ком­позиции МАКСИМУМА комбинированный вывод нечеткого под­множества конструируется как поточечный максимум по всем не­четким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ»). При композиции СУММЫ комбинированный вывод нечеткого подмножества кон­струируется как поточечная сумма по всем нечетким подмноже­ствам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода.

4.          В заключение (дополнительно) — приведение к четкости (дефазификация, defuzzification), которое используется, когда по­лезно преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число. Име­ется большое количество методов приведения к четкости, некото­рые из которых рассмотрены ниже.

Пример.Пусть некоторая система описывается следующими нечет­кими правилами:

П1: если хесть А, тогда ω есть D,

П2: если уесть В, тогда ω есть Е,

П3: если zесть С, тогда ω есть F, где х, у и z— имена входных переменных, ω — имя переменной вывода, а А, В, С, D, Е, F— заданные функции принадлежности (треугольной формы).

Процедура получения логического вывода иллюстрируется рис. 1.9.

Предполагается, что входные переменные приняли некоторые кон­кретные (четкие) значения — хо, yо и zо.

В соответствии с приведенными этапами, на этапе 1 для данных зна­чений и исходя из функций принадлежности А, В, С, находятся степени истинности α(хо), α(уоα(zo)для предпосылок каждого из трех при­веденных правил (см. рис. 1.9).

На этапе 2 происходит «отсекание» функций принадлежности за­ключений правил (т.е. D, Е, F) на уровнях α(хо), α(уо) и α(zo).

На этапе 3 рассматриваются усеченные на втором этапе функции при­надлежности и производится их объединение с использованием операции max, в результате чего получается комбинированное нечеткое подмноже­ство, описываемое функцией принадлежности μ(ω) и соответствующее логическому выводу для выходной переменной ω.

Наконец, на 4-м этапе — при необходимости — находится четкое значение выходной переменной, например, с применением центроидного метода: четкое значение выходной переменной определяется как центр тяжести для кривой μ(ω), т.е.

Нечеткие выводы

Рассмотрим следующие наиболее часто используемые модифи­кации алгоритма нечеткого вывода, полагая, для простоты, что базу знаний организуют два нечетких правила вида:

П1: если х есть Aи у есть B1, тогда zесть C1,

П2: если х есть А2 и у есть В2, тогда zесть С2, где x и у — имена входных переменных, — имя переменной вы­вода, A1, А2, B1, В2, C1, С2 — некоторые заданные функции при­надлежности, при этом четкое значение zнеобходимо определить на основе приведенной информации и четких значений xи у0.

Нечеткие выводы

Рис. 1.9. Иллюстрация к процедуре логического вывода

 

Алгоритм Mamdani

Данный алгоритм соответствует рассмотренному примеру и рис. 1.9. В рассматриваемой ситуации он математически может быть описан следующим образом.

1.          Нечеткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: А1(x0), А2(x0), B1(y0), В2(y0).

2.          Нечеткий вывод: находятся уровни «отсечения» для пред­посылок каждого из правил (с использованием операции МИНИМУМ)

α1= A1(x0) ˄ B1(y0)

α2 = A2(x0) ˄ B2(y0)

где через «˄» обозначена операция логического минимума (min), затем находятся «усеченные» функции принадлежности

Нечеткие выводы

3.          Композиция: с использование операции МАКСИМУМ (max, далее обозначаемой как «˅») производится объединение найден­ных усеченных функций, что приводит к получению итогового не­четкого подмножества для переменной выхода с функцией принад­лежности

Нечеткие выводы

4.          Наконец, приведение к четкости (для нахождения z0прово­дится, например, центроидным методом.

 

Алгоритм Tsukamoto

 Исходные посылки — как у пре­дыдущего алгоритма, но в данном случае предполагается, что функ­ции C1(z), С2(z) являются монотонными.

1.          Первый этап — такой же, как в алгоритме Mamdani.

2.          На втором этапе сначала находятся (как в алгоритме Mam­dani) уровни «отсечения» α1 и α2, а затем — посредством решения уравнений

α1 = C1(z1), α2 = C2(z2)

— четкие значения (zи z2 )для каждого из исходных правил.

3.          Определяется четкое значение переменной вывода (как взве­шенное среднее zи z2):

Нечеткие выводы

в общем случае (дискретный вариант центроидного метода)

Нечеткие выводы

Пример. Пусть имеем A1(x0) = 0,7, A2(x0) = 0,6, B1(y0) = 0,3, В2(y0) = 0,8, соответствующие уровни отсечения

a1 =min (A1(x0), B1(y0)) = min(0,7; 0,3) = 0,3,

a2 =min (А2(x0), В2(y0)) = min (0,6; 0,8) = 0,6

и значения z= 8 и z= 4, найденные в результате решения уравнений

C1(z1) = 0,3 , C2(z2) = 0,6.

Рис. 1.10. Иллюстрации к алгоритму Tsukamoto

 

При этом четкое значение переменной вывода (см. рис. 1.10)

z0 = (8·0,3 + 4·0,6) / (0,3 + 0,6) = 6.

Алгоритм Sugeno

Sugeno и Takagi использовали набор правил в следующей форме (как и раньше, приводим пример двух правил):

П1: если х есть Aи у есть B1, тогда z1= а1х + b1у,

П2: если х есть A2 и у есть В2, тогда z2= a2x+ b2y.

Представление алгоритма

1.          Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2.          На втором этапе находятся α1= A1(x0) ˄ B1(y0), α2 = А2(x0) ˄ В2(у0) и индивидуальные выходы правил:

Нечеткие выводы

З.      На третьем этапе определяется четкое значение переменной вывода:

Нечеткие выводы

Иллюстрирует алгоритм рис. 1.11.

Нечеткие выводы

Рис. 1.11. Иллюстрация к алгоритму Sugeno

 

Алгоритм Larsen

В алгоритме Larsen нечеткая импли­кация моделируется с использованием оператора умножения.

Описание алгоритма

1.          Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2.          На втором этапе, как в алгоритме Mamdani вначале нахо­дятся значения

α1= A1(x0) ˄ B1(y0),

α2 = А2(x0) ˄ В2(y0),

а затем — частные нечеткие подмножества

α1C1(z), a2C2(z).

3.          Находится итоговое нечеткое подмножество с функцией при­надлежности

μs(z)= С(z)= (a1C1(z)) ˅ (a2C2(z))

(в общем случае n правил ).

4.          При необходимости производится приведение к четкости (как в ранее рассмотренных алгоритмах).

Алгоритм Larsen иллюстрируется рис. 1.12.

Нечеткие выводы

Рис. 1.12. Иллюстрация алгоритма Larsen

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода

Исходные пра­вила в данном случае задаются в виде:

П1: если х есть Aи у есть B1, тогда z= c1,

П2: если х есть А2 и у есть В2, тогда z= с2, где cи с2 — некоторые обычные (четкие) числа.

Описание алгоритма

1.          Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2.          На втором этапе находятся числа α1 = A1(x0) ˄ B1(y0), α2= A2(x0) ˄ B2(y0).

3.          На третьем этапе находится четкое значение выходной пе­ременной по формуле

Нечеткие выводы

или — в общем случае наличия n правил — по формуле

Иллюстрация алгоритма приведена на рис. 1.13.

Нечеткие выводы

Рис. 1.13. Иллюстрация упрощенного алгоритма нечеткого вывода

Методы приведения к четкости

1.           Выше уже был рассмотрен один из данных методов — троидный. Приведем соответствующие формулы еще раз.

Для непрерывного варианта:

Нечеткие выводы

для дискретного варианта:

2.          Первый максимум (First-of-Maxima). Четкая величина пере­менной вывода находится как наименьшее значение, при котором достигается максимум итогового нечеткого множества, т.е. (см. рис. 1.14а)

Рис. 1.14. Иллюстрация к методам приведения к четкости: α — первый максимум; б — средний максимум

Нечеткие выводы

3.          Средний максимум (Middle-of-Maxima). Четкое значение находится по формуле

где G — подмножество элементов, максимизирующих С (см. рис. 1.14 б).

Дискретный вариант (если С — дискретно):

4.          Критерий максимума (Max-Criterion). Четкое значение вы­бирается произвольно среди множества элементов, доставляющих максимум С, т. е.

5.          Высотная дефазификация (Heightdefuzzification). Элементы области определения Ω для которых значения функции принад­лежности меньше, чем некоторый уровень α в расчет не принима­ются, и четкое значение рассчитывается по формуле

где Сα — нечеткое множество α-уровня (см. выше).

 

Нисходящие нечеткие выводы

Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключению. В последние годы в диагностических нечетких системах начинают применяться нисходящие выводы. Рассмотрим механизм подобного вывода на примере.

Возьмем упрощенную модель диагностики неисправности ав­томобиля с именами переменных:

х1— неисправность аккумулятора;

x2— отработка машинного масла;

y1— затруднения при запуске;

y2— ухудшение цвета выхлопных газов;

y3— недостаток мощности.

Между xiи yjсуществуют нечеткие причинные отношения rij = xiyj,которые можно представить в виде некоторой ма­трицы с элементами rij ϵ [0, 1]. Конкретные входы (предпо­сылки) и выходы (заключения) можно рассматривать как нечет­кие множества А и В на пространствах X и Y.Отношения этих множеств можно обозначить как

В = АR,

где, как и раньше, знак «о» обозначает правило композиции не­четких выводов.

В данном случае направление выводов является обратным к направлению выводов для правил, т.е. в случае диагностики име­ется (задана) матрица (знания эксперта), наблюдаются выходы В (или симптомы) и определяются входы А (или факторы).

Пусть знания эксперта-автомеханика имеют вид

а в результате осмотра автомобиля его состояние можно оценить как

В= 0,9/y1+ 0,1/у2 + 0,2/у3.

Требуется определить причину такого состояния:

А = a1/x1+ a2/x2.

Отношение введенных нечетких множеств можно представить в виде

либо, транспонируя, в виде нечетких векторов-столбцов:

При использовании (max-mix)-композиции последнее соотно­шение преобразуется к виду

0,9 = (0,9 ˄ α1) ˅ (0,6 ˄ α2),

0,1 = (0,1 ˄ α1) ˅ (0,5 ˄ α2),

0,2 = (0,2 ˄ α1) ˅ (0,5 ˄ α2).

При решении данной системы заметим прежде всего, что в первом уравнении второй член правой части не влияет на правую часть, поэтому

0,9 = 0,9 ˄ α1, α1 ≥ 0,9.

Из второго уравнения получим:

0,1 ≥ 0,5 ˄ α2, α2 ≤ 0,1.

Полученное решение удовлетворяет третьему уравнению, та­ким образом имеем:

0,9 ≤ α1≤ 1,0,     0 ≤ α2 ≤ 0,1,

т.е. лучше заменить аккумулятор (α— параметр неисправности аккумулятора, α— параметр отработки машинного масла).

На практике в задачах, подобных рассмотренной, количество переменных может быть существенным, могут одновременно ис­пользоваться различные композиции нечетких выводов, сама схема выводов может быть многокаскадной. Общих методов решения по­добных задач в настоящее время, по-видимому, не существует.


нечеткая логика нечеткие множества
Гость, оставишь комментарий?
Имя:*
E-Mail:


 
Свежее новое
  • В Москве пройдет один из крупнейших хакатонов в мире в сфере искусственного интеллекта
  • PicsArt, ведущая творческая платформа для создания контента и визуализации историй в социальных сетях с более чем 100 миллионами активных
  • Сильный Искусственный Интеллект «Smart-MES» меняет взгляды на Технологическую Сингулярность
  • Учёные полагают, что Технологическая Сингулярность наступит тогда, когда Сильный Искусственный Интеллект будет способен самостоятельно создавать себе
  • Навыки голосовых помощников от Amazon, Google, Microsoft и Яндекс
  • После лекции директора по маркетингу умного помощника Алисы, Даниилы Колесникова, меня посетило вдохновение и любопытство. Так как мы сами сейчас
  • Конкурс идей от лаборатории Касперского - Kaspersky Start Russia
  • Если ты инициативный лидер, у тебя есть знания в области IT и тебе хотелось бы возглавить собственный проект в лаборатории Касперского, то подай
  • Смарт-города, умный транспорт и инновации для ЖКХ: что обсуждали на конференции «Интернет вещей»
  • Интернет вещей для промышленности, транспорта, ЖКХ и торговли: в Москве обсудили развитие и внедрение технологии. Конференция «Интернет вещей»,
Последние комментарии
5 лучших приложений искусственного интеллекта для вашего телефона Android
какой это искусственный разум мне смешно не пудрите людям мозги ,голосовой поисковик- это интелект ха ха ну вы тут и загибаете фантастику
5 лучших приложений искусственного интеллекта для вашего телефона Android
Всё вышеперечисленное назвать интеллектом можно с большущей натяжкой. Так, программки-автоматы с почти хорошим распознаванием несложной речи.
Сильный Искусственный Интеллект «Smart-MES» как основа Технологической Сингулярности России
У нас очень странный народ, если что не понимает, то обязательно надо сунуть в морду. Зачем? А не лучше ли поинтересоваться, почему именно так? У
Сильный Искусственный Интеллект «Smart-MES» как основа Технологической Сингулярности России
Господин Чернов. Поясню. Любой инструмент, даже прозаическая кофемолка, проходят процедуру стендовых испытаний. Сертификат соответствия
Сильный Искусственный Интеллект «Smart-MES» как основа Технологической Сингулярности России
     " И странная картина получается в коридорах власти ". Странная картина  получается, если полагать, что власть эта поставлена для решения задач
Мы в социальных сетях
Статистика
0  
Всего статей 1533
1  
Всего комментариев 65
0  
Пользователей 56