Операции над нечеткими отношениями, произведение двух отношений, пересечение двух отношений, сумма двух отношений...
Пусть Е = Е1 × Е2 × ... × Еп — прямое произведение универсальных множеств и М — некоторое множество принадлежностей (например, М = [0, 1]). Нечеткое n-ное отношение определяется как нечеткое подмножество R на Е, принимающее свои значения в М. В случае n= 2 и М = [0, 1] нечетким отношением R между множествами X = Е1 и Y = Е2 будет называться функция R:(X, Y) → [0, 1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (x, у) ϵ X × Y величину μR(x, у) ϵ [0, 1].
Обозначение: нечеткое отношение на X × Y запишется в виде
х ϵ X, у ϵ Y: xRy.
В случае, когда X = У, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R:X× X → [0, 1] называется нечетким отношением на множестве X.
Примеры
1) Пусть X = {х1,х2, х3}, Y= {y1, у2, у3, y4}, М = [0, 1]. Нечеткое отношение R= XRY может быть задано, к примеру, табл. 1.3.
Таблица 1.3. Задание нечеткого отношения
2) Пусть X = Y=(-∞, ∞), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение х >> у (х много больше у) можно задать функцией принадлежности:
3) Отношение R, для которого μR(х, у)= е-k·(x-y)·(x-y), при достаточно больших k можно интерпретировать так: «х и у близкие друг к другу числа».
Объединение двух отношений R1 и R2. Объединение двух отношений обозначается R1 ∪ R2 и определяется выражением
Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1 ⋂ R2 и определяется выражением
Алгебраическое произведение двух отношений. Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1· R2 и определяется выражением
Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается и определяется выражением
Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:
Дополнение отношения. Дополнение отношения R обозначается ̅R и определяется функцией принадлежности:
Дизъюнктивная сумма двух отношений. Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1⊕ R2 и определяется выражением
Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть R — нечеткое отношение с функцией принадлежности μR(x, у).Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением
По договоренности принимают μR(x, у)= 0 при μR(x, у)= 0,5. Композиция (свертка) двух нечетких отношений. Пусть R1 — нечеткое отношение R1:(X × У) → [0, 1] между X и Y, и R2 — нечеткое отношение R2 — (Y× Z) → [0, 1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R2 ᵒ R1, определенное через R2 и R1 выражением
называется (max-min)-композицией ((max-min)-сверткой) отношений R1 и R2
Пример. Пусть
Тогда
При этом
Замечание. В данном примере вначале использован «аналитический» способ композиции отношений R1 и R2, т.е. i-ястрока R1 «умножается» на j-й столбец R2 с использованием операции ˄, полученный результат «свертывается» с использованием операции ˅ в μ(xi, zj).
Свойства(max-min)-композиции. Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.
R3 ᵒ (R2 ᵒ R1)= (R3 ᵒ R2) ᵒ R1,
дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:
R3 ᵒ (R2 ∪ R1) = (R3 ᵒ R2) ∪ (R3 ᵒ R1),
R3 ᵒ (R2 ⋂ R1) ≠ (R3 ᵒ R2) ⋂ (R3 ᵒ R1).
Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R1⊂ R2 ,то R ᵒ R1⊂ R ᵒ R2.
max-композиция.В выражении
для (max-min)-композиции отношений R1 и R2 операцию ˄ можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для ˄: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда
В частности, операция ˄ может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max-prod)-композиции.