Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Логические операции

Включение.Пусть А и В — нечеткие множества на уни­версальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Обозначение: А ⊂ В.

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, ко­гда А ⊂ В,говорят, что В доминирует А.

Равенство.А и В равны, если Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Обозначение: А = В.

Дополнение.Пусть М = [0, 1], А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если 

Обозначение: Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Очевидно, что Часть 2. Операции над нечеткими множествами (дополнение определено для М = [0, 1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядочен­ного М).

Пересечение. А ⋂ В— наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Объединение. AВ — наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

Разность.  с функцией принадлежности: 

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

 Дизъюнктивная сумма

АВ = (A - B) ∪ (B - A) = (A ⋂  ̅B∪ (  ̅A ⋂ B)

 

с функцией принадлежности:

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Примеры. Пусть

Здесь:

1)          А ⊂ В, т. е. А содержится в Bили Bдоминирует А; С несравнимо ни с A, ни с В, т.е. пары {А, С} и {А, С} — пары недоминируемых нечетких множеств.

2)          ABC

3)          ̅A = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4; ̅B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 +0/x4.

4)          А ⋂ В = 0,4/x1+ 0,2/x2+ 0/x3+ 1/х4.

5)          ∪ В = 0,7/x1+ 0,9/x2+ 0,1/x3+ 1/x4.

6)          А - В = А  ̅В =0,3/x1+ 0,l/x2+ 0/x3+ 0/x4;

  В А= ̅А ⋂ В =0,6/x1+ 0,8/x2+ 0,l/x3+ 0/x4.

7)          А ⊕ В = 0,6/x1+ 0,8/x2+ 0,1/x3+ 0/x4.

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоуголь­ную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения μА(х), на оси абсцисс в произвольном порядке распо­ложены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упо­рядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает нагляд­ными простые логические операции над нечеткими множествами (см. рис. 1.3).

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций: α— нечеткое мно­жество А; б — нечеткое множество ̅А, вА  ̅А; г∪ ̅А

 

На рис. 1.3α заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.3б, в, г даны ̅А, А ⋂  ̅AU  ̅А.

Свойства операций ∪ и 

Пусть А, В, С — нечеткие множества, тогда выполняются сле­дующие свойства:

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем

случае:

 ̅A ≠ ∅, A ∪ ̅A ≠ E

 (что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими мно­жествами основаны на использовании операций maxи min. В те­ории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объеди­нения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысло­вые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

Один из подходов к операторам пересечения и объединения за­ключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой(t-нормой) называется двуместная дей­ствительная функция T: [0, 1] x[0, 1] → [0, 1], удовлетворяющая следующим условиям:

Примеры треугольных норм

min(μAμB)

произведение μA· μB

max(0, μAμ- 1).

Треугольной конормой(t-конормой) называется двуместная действительная функция S: [0, 1] x[0, 1] → [0, 1] со свойствами:

Примеры t-конорм

max(μAμB)

μAμBμA· μB

min(1, μAμB).

 

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение А иВобозначается A·В и опре­деляется так: Операции над нечеткими множествами

Алгебраическая суммаэтих множеств обозначается А+ В и определяется так: 

Для операций {-, +} выполняются свойства:

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Не выполняются:

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Замечание.При совместном использовании операций { U, ⋂, + , • } выполняются свойства:

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

На основе операции алгебраического произведения определя­ется операция возведения в степень α нечеткого множества А, где α— положительное число. Нечеткое множество Аα опреде­ляется функцией принадлежности μαA= μαA(x). Частным случаем возведения в степень являются:

1)          CON(А) = А2 — операция концентрирования (уплотне­ния);

2)          DIL(А) = А0,5 — операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопреде­ленностями (рис. 1.4).

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Рис. 1.4. Иллюстрация к понятию операций концентрирования (уплотнения) и растяжения

Умножение на число. Если α — положительное число, такое, что , то нечеткое множество αА имеет функцию принадлежности:

μαА(х) = αμA(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств.Пусть A1, А2,..., Аn— нечеткие множества универсального множества Е, aω1, ω2, …, ωn— неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A1, А2, ..., Аnназывается нечеткое множество А с функцией принадлежности:

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Декартово(прямое) произведение нечетких множеств. Пусть A1, А2, ..., Аn— нечеткие подмножества универсальных множеств Е1, Е2,…, Еnсоответственно. Декартово, или прямое произведение А = А1Аx... x Аявляется нечетким подмно­жеством множества Е = Е1Еx... x Ес функцией принад­лежности:

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Оператор увеличения нечеткостииспользуется для преобра­зования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть А — нечеткое множество, Е— универсальное множество и для всех хϵЕопределены нечеткие множества К(х).Совокуп­ность всех К(х)называется ядром оператора увеличения нечетко­сти Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество вида

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

где μА(х)К(х) — произведение числа на нечеткое множество.

ПримерПусть

Е = {1,2,3,4};  А = 0,8/1+ 0,6/2+ 0/3+ 0/4; К(1)=1/1 + 0,4/2;

К(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; К(3) = 1/3 + 0,5/4; К(4)= 1/4.

Тогда

Часть 2. Операции над нечеткими множествами

Четкое множество α-уровня(или уровня α). Множеством α-уровня нечеткого множества А универсального множества Е на­зывается четкое подмножество Аα универсального множества Е,определяемое в виде

Аα{ x/μA(x≥ α },

где α ≤ 1.

Пример. Пусть А = 0,2/x1+ 0/x2+ 0,5/x3+ 1/x4, тогда A0,3{ x3x}A0,7 = { х}.

Достаточно очевидное свойство: если α1 ≥ 2, то Аα1 Аα2.

 


нечеткая логика нечеткие множества
Гость, оставишь комментарий?
Имя:*
E-Mail:


Свежее новое
  • Почему цунами опасно только на суше: морские гравитационные волны и их действие
  • Одна из страшнейших бед для побережья — длинные волны гравитационного происхождения, известные как «цунами». Эти волны имеют очень большие размеры,
  • Сенсационное открытие: телескоп «Хаббл» открыл новую галактическую систему
  • Телескопу «Хаббл», в процессе исследований космоса, удалось сделать сенсационное открытие. Телескоп обнаружил неизвестную ранее галактику.
  • На поверхности Луны обнаружен китайский луноход
  • Космический аппарат, принадлежащий НАСА, сумел обнаружить на поверхности Луны перемещающийся объект земного происхождения. Этим объектом оказался
  • ТОП-5 фильмов об искусственном интеллекте: для тех, кто верит в будущее
  • 5 самых культовых художественных фильмов об искуственном интеллекте и роботах для ценителей хорошего кино.
  • Тайна подводных лодок проекта 941 «Акула»: куда исчезла военная техника
  • Атомные подводные лодки проекта 941 «Акула» — крупнейшие в мире. Ни в одной другой стране, даже в США, похожей техники нет. Первую лодку — ТК-208
Последние комментарии
5 лучших приложений искусственного интеллекта для вашего телефона Android
ха....не отвечают.....а программа выдает заложенный в исходном коде в ответ на запрос. то же самое умеет калькулятор, только там нужно нажимать равно
5 лучших приложений искусственного интеллекта для вашего телефона Android
Я считаю,что искусственный интеллект ,когда нибудь будет,а пока это программы которые выполняют определенный алгоритм команд,интеллект-это
Нейронные сети Кохонена
Спасибо огромное за доступность представленного материала. Особенно ценным есть простой пример, на котором описана работа модели. Читала на многих
Демонстрация онлайн обучения нейронной сети
сказки переобучения НС и потери сигнала на таких нервонных сетях чудненькие распознованеи ближе к зеро :)
Что ждёт человечество с учётом дальнейшего развития «искусственного» интеллекта?
Совсем недавно завершилась серия логических игр Go 3 года канулив лету а ИИшак все играет в го а люди как обычно пашут до самой молодости :)
Мы в социальных сетях
Статистика
5  
Всего статей 1599
2  
Всего комментариев 102
0  
Пользователей 75